Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову. Метод функций

Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову. Метод функций

Df Положительно определенная в округи U т. – u = функция V( ) именуется функцией Ляпунова системы (1), если V′ ( ) ≤0, U.

Тут знак V′ ( ) именуется производной функции V( ) в силу системы (1). Это означает, что V′ ( )=

Аксиомы Ляпунова об стойкости, асимптотической стойкости и неустойчивости.

Пункт А. Аксиома Ляпунова об стойкости.

Аксиома. Если для системы(1) в области Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову. Метод функций U, т.е. в округи положения равновесия знакоопределенная функция V( ) , производная которой по времени V′ ( ) взятая в силы системы(1) является знакопостоянной функцией знака обратного знаку функции V( ), то положение равновесия стабильно в смысле Ляпунова (утойчиво по Ляпунову).

Другая формулировка аксиомы Ляпунова об стойкости. Если в некой округи U Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову. Метод функций положение равновесия функция Ляпунова V( ) , то это положение равновесия стабильно по Ляпунову.

Подтверждение: Пусть состояние равновесия является начало координат, т.е. т. . Выберем число > 0, так чтоб шар K , таковой что | |< лежал в округи U т. .. =О

Пусть S является границей шара K , т.е. это сфера радиуса либо | |= , т.к. S Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову. Метод функций - замкнутое ограниченное мн. функция V( ) – непрерывна в нем и положительна на S (т.е. V( ) >0 на S ), то малое значение функции V( ) =K>0.

Разглядим шар K , таковой что | | и пусть этот шар содержится в U. Т.к. V( )=0, то величину >0 можно избрать так, чтоб производилось неравенство V( )

Таковой выбор можно сделать в силу непрерывности функции V( ). Покажем, что если | |< , то |x(t, )|< для хоть какого t [0;∞). Ч.Т.Д,

Т.к. V′ ( ) 0 , как следует V( ) – функция Ляпунова в U и V(

При этом, последнее неравенство производится ??? фазовой линии движения Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову. Метод функций = (t, ), а это означает, что линия движения, которая начинается в шаре K не может пересечь границы K , т. к. V( )

Пункт Б Аксиома Ляпунова об асимптотической стойкости.

Аксиома. Если для системы (1) знакоопределенная функция V( ) полная производная которой по времени найдена в силу Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову. Метод функций системы (1) является также знакоопределенной, знакопротивоположной с V( ), то положение равновесия асимптотически стабильно(стабильно по Ляпунову ).

Другая формулировка: пусть в некой округи U положение равновесия функция Ляпунова V( ), такая что V′ ( ) в силу системы (1) является отрицательно-определенной в U, тогда положения равновесия ассимптотически устойчивой.

Без подтверждения.

Пункт Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову. Метод функций В. Аксиома Ляпунова о неустойчивости.

Если функция V( ), имеющая знакоопределенную V′ ( ) и такая, что в V округи U т. – и , функция V′ ( ) не является знакопостоянной, знакопротивоположно с V( ), то положение равновесия не стабильно.

Аксиома Читаева о неустойчивости. Пусть функция V( ) безпрерывно диффиренцируема в области U1 U, V( )>0 и V′ ( ) >0, где Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову. Метод функций U1и не считая того V( )=0 в тех точках области U1, которые лежат снутри области U и явл. граничными для области U1, тогда положение равновесия не стабильно.


Вопрос 27. Разглядим линейную однородную систему записанную в векторной форме (1),где матрица А образована из пост реальных либо всеохватывающих чисем. Разумеется (1) имеет Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову. Метод функций состояние равновесия . Для предстоящего рассуждения сформулируем аксиому о приведении м А к практически диагональному виду.

Т. Всякую квадратную матрицу порядка n можно привести к практически диаг виду, т.е. существует м. Т такая, что АТ=Л+ , где Л-диаг м., элементами которой явл все собственные значения м. А, а ядля Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову. Метод функций элем м. имеет место оценка < , где положительное число можно избрать сколь угодно малым

Т.Положение равновесия сист (1) асимптотически стабильно и тогда только тогда, когда действительные части всех собственных значений м.А явл. отрицательными.

След1: Если посреди корней характеристического уравнения есть хотя бы один с положительной реальной частью, то нулевое решение Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову. Метод функций системы (1) не стабильно.

След2:Если характеристическое уравн сист (1) не имеет корней с положительной реальной частью, но имеется ряд корней с нулевой положительной частью, то может иметь место нач. устойчивость (но не асимптотическая) так и неустойчивость нулевого решения этой системы.

Аспект Рауса-Гурвица:

Дано уравнение (1) записано характеристическое ур. (2) = + +..+ + =0

Будем считать Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову. Метод функций, что коэф- действительные числа. Из коэф мн-на (2) составим матрицу:

А=

Члены с инд. > чем n и < 0 =0

Образуем диаг. Определ из диагональной матрицы:

=

=

=detA, т.к. последняя строчка все нули не считая , то =

Т(аспект Рауса-Гурвица)

Для того, чтоб все корешки ур.(2) имели отрицательные действительные части нужно и довольно, чтоб Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову. Метод функций производились неравенства:

>0 k=1,n

Пример для квадратного уравн + + =0

Этот аспект имеет вид >0, >0 как следует

Пример для уравн 3ого порядка + + =0

>0 , >0, >0,


Вопрос 28. Разглядим сист. (1), - два раза непрер-диф в некой окр. U т. . Разложим вектор ф-ции по ф-ле Тейлора = ( )( )+ (2)

Если т , довольно близки, т.е. U т ( ), то ( )( )+

Отбросив Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову. Метод функций в (2) не лин. Члены получим систему (3), где , А=f ( )

Сист (3) наз линеаризованной для сист (1) в окр состояния т

Переход от не линейной системы (1) к лин. Системе (3) наз линеаризацией сист (1). При всем этом линеаризов. сист- это система линейная с пост коэф.Эта система встраивается и потому устойчивость положения Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову. Метод функций равновесия просто находится.

Покажем, что по структуре положения равновесия очень нередко можно судить судить об стойкости линейных ситсем вида (1)

Т Ляпунова об стойкости по лин приближению:

Если положение равновесия линеаризироной системы асимптотически стабильно, то положение равновесия не линейной системы также асимптотически стабильно.

Неустойчивость по линейному приближению:

Т. Пусть два Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову. Метод функций раза непрер диф в некой округи положения равновесия ,если м. Якоби имеет собственные значения с положительной реальной частью, то положение равновесия не стабильно.


Вопрос 29. Представим, что при линеаризации получим однородную лин сист вида

, где -действительные числа

Пусть x= , y= действительное решение системы, тогда ур. x= , y= определена кривой на плоскости XOY, эта кривая наз Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову. Метод функций. Фазовой траекторией системы (1). А картина, которая образует фазовую линию движения системы (1) наз. фаз. портретом этой сист. Одной из фазовых траекторий сист (1) , следует,что фазовая линия движения система явл точкой с коорд (0,0). Такая точка наз точкой покоя либо состоянием равновелия сист(1). Как понятно сист. (1) просто встраивается а как Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову. Метод функций следует можно выстроить фазовый портрет этой системы, который опред зависимо от знач корней нрав уравн. Пусть , явл корнями нрав уравн вида =0 корешки такового уравн наз своими значениями матрицы А. Так как коэф при неведомых сист (1) действительные числа, потому вероятны 2а варианта:

1) Корешки , -действит

2) , -корни сопряж

Пусть оба корня действит: тогда собственные вектора Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову. Метод функций можно взять действительными, а тогда всякое решение системы имеет вид x(t)= + (2), - произвольн пост, а x(t) имеет координаты (x(t), y(t)). Векторы образуют базис на плоскости. Пусть , координаты вектора x(t) в этом базисе, т.е. , (3)

Разглядим несколько случаев зависящих от знака корней нрав уравн:

1) , -действит Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову. Метод функций 1-го знака <0

Если , то фазовой траекторией явл ось В итоге получим портрет, такое сост равновесия наз устойчивым узлом. α= следует, что фазовые линии движения имеют вид парабол

2) Пусть , >0. Фазовый портрет таковой же как описано выше, только стрелки в другом направлении.Такое положение равновесия наз неуравновешенным узлом

3) , <0. Если то имеем , = , при t ∞, а если , то Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову. Метод функций имеем , ∞, при t ∞. Еще два луча получ, если ,

. В итоге траекторией системы (1) явл 4е луча. 2а из которых примыкают к т (0,0) при t ∞,а 2а других выходят из этой точки, при t ∞.Либо можно сказать входят в нач координат при t ∞. 2а луча наз. Сепаратрисами седла Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову. Метод функций, т.к. положение равновесия в этом случ наз седлом. Если , и линия движения имеет вид гипербалоида. Такое сост наз седлом.

Положение седло всегда нестабильно.

4) , - компл корешки

, тогда всякое реш сист (1) имеет вид (2), а всякое действительное решение сист (1) имеет вид + (4)

Пусть , = , c=a+bi,

Будем считать, что , -действит, тогда .Если оба корня чисто Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову. Метод функций надуманные, т.е. , , следует, что фазовая линия движения явл элиплом, Направление обхода находится в зависимости от знака .Если , то обход против часовой стрелки:

Нач координат явл устойчивым полож равновесия, но не ассимптотич.

Пусть , то линия движения сист (1) явл спиралями, коротые закругляются в нач координат при t ∞.Такое Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову. Метод функций положение равновелия наз устойчивый фокус, если , только направл движ изменяется на обратное. Такое положение равновесия наз неуравновешенным фокусом.


Вопрос 30. Некие задачки, приводящие к уравнениям первого порядка с личными производными.

a) Уравнение поверхностей

Разглядим в неком пространстве поверхность , образованную вращением около оси кривой , расположенной в плоскости . Уравнение этой поверхности имеет вид (1), где Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову. Метод функций – довольно гладкая функция. Продифференцируем (1) по и по . Получим:

либо (2)

Получим уравнение, содержащее 4 производные первого порядка относительно неведомой функции . Графиком решения является поверхность в трехмерном пространстве , и эта поверхность именуется интегральной поверхностью уравнения (2).

b) Разглядим функцию вида:

, где - неизменная, - время, - пространственная координата.

Её график в момент времени выходит из Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову. Метод функций графика функции в момент времени со сдвигом на расстояние повдоль есть волна, бегущая повдоль со скоростью . Т.к. и , то функция удовлетворяет ДУЧП:


ustanovka-poryadovki-i-natyagivanie-prichalki-raskladka-kirpicha-po-zadannim-shemam-podacha-rastvora-kladka-parapeta-tolshinoj-v-1-kirpich.html
ustanovka-programmi-v-windows-vista-windows-7-8-2008-2012-10.html
ustanovka-razmerov-chertezha.html