Установление истинности сложных высказываний.

Характеристики

Разглядим несколько параметров декартова произведения:

1. Если A,B — конечные огромного количества, то A×B — конечное. И напротив, если одно из множеств-сомножителей нескончаемое, то и итог их произведения — нескончаемое огромное количество.

2. Количество частей в декартовом произведении равно произведению чисел частей множеств-сомножителей (в случае их конечности, очевидно): |A×B|=|A Установление истинности сложных высказываний.|⋅|B| .

3. A np ≠(A n ) p — в первом случае целенаправлено разглядеть итог декартова произведения как матрицу размеров 1×np , во 2-м же — как матрицу размеров n×p .

4. Коммутативный закон не производится, т.к. пары частей результата декартова произведения упорядочены: A×B≠B×A .

5. Ассоциативный закон не производится: (A×B)×C≠A×(B Установление истинности сложных высказываний.×C) .

6. Имеет место дистрибутивность относительно главных операциях на огромных количествах: (A∗B)×C=(A×C)∗(B×C),∗∈{∩,∪,∖}

11. Понятие выражения. Простые и составные выражения.

Выражение- это утверждение либо повествовательное предложение, о котором можно сказать, что оно поистине (И-1) либо неверно (Л-0), но не то и другое сразу.

К примеру, «Сегодня идет Установление истинности сложных высказываний. дождь», «Иванов выполнил лабораторную работу №2 по физике».

Если у нас есть некоторое количество начальных выражений, то из их с помощью логических союзов либо частиц мы можем создавать новые выражения, истинностное значение которых зависит только от истинностных значений начальных выражений и от определенных союзов и частиц, которые участвуют в построении нового Установление истинности сложных высказываний. выражения. Слова и выражения «и», «или», «не», «если ... , то», «поэтому», «тогда и только тогда» являются примерами таких союзов. Начальные выражения именуются ординарными, а построенные из их при помощи тех либо других логических союзов новые выражения - составными. Очевидно, слово «простые» никак не связано с сущностью либо структурой начальных выражений, которые Установление истинности сложных высказываний. сами могут быть очень сложными. В данном контексте слово «простой» является синонимом слова «исход-ный». Принципиально то, что значения истинности обычных выражений предполагаются известными либо данными; в любом случае они никак не дискуссируются.

Хотя выражение типа «Сегодня не четверг» не составлено из 2-ух разных обычных выражений, для единообразия конструкции оно также Установление истинности сложных высказываний. рассматривается как составное, по-скольку его истинностное значение определяется истинностным значением другого высказыва-ния «Сегодня четверг»

Пример 2. Cледующие выражения рассматриваются как составные:

Я читаю «Московский комсомолец» и я читаю «Коммерсант».

Если он произнес это, означает, это правильно.

Солнце не является звездой.

Если будет солнечно и температура превзойдет 250, я приеду Установление истинности сложных высказываний. поездом либо автомобилем

Обыкновенные выражения, входящие в составные, сами по для себя могут быть совсем случайными. А именно, они сами могут быть составными. Описываемые ниже базовые типы составных выражений определяются независимо от образующих их обычных выражений.

12. Операции над высказываниями.

1.Операция отрицания.

Отрицанием выражения Аименуется выражение, обозначаемое (читается «не А», «неверно, что Установление истинности сложных высказываний. А»), которое поистине, когда А неверно и неверно, когда А – поистине.

Отрицающие друг дружку выражения А и именуются обратными.

2. Операция конъюнкции.

Конъюнкцией выражений А и В именуется выражение, обозначаемое А В (читается «А и В»), настоящие значения которого определяются в том и только том случае, когда оба Установление истинности сложных высказываний. выражения А и В истинны.

Конъюнкцию выражений именуют логическим произведением и нередко обозначают АВ.

Пусть дано выражение А – «в марте температура воздуха от 0 С до +7 С» и выражение В – «в Витебске идет дождь». Тогда А В будет последующей: «в марте температура воздуха от 0 С до +7 С и в Витебске идет дождь Установление истинности сложных высказываний.». Данная конъюнкция будет настоящей, если будут выражения А и В настоящими. Если же окажется, что температура была меньше 0 С либо в Витебске не было дождика, то А В будет неверной.

3. Операция дизъюнкции.

Дизъюнкцией выражений А и В именуется выражение А В (А либо В), которое поистине и тогда Установление истинности сложных высказываний. только тогда, когда хотя бы одно из выражений поистине и неверно – когда оба выражения неверны.

Дизъюнкцию выражений именуют также логической суммой А+В.

Выражение «4<5 либо 4=5» является настоящим. Потому что выражение «4<5» – настоящее, а выражение «4=5» – неверное, то А В представляет собой настоящее выражение «4 5».

4. Операция импликации.

Импликациейвыражений А и В именуется выражение А В Установление истинности сложных высказываний. («если А, то В», «из А следует В»), значение которого неверно и тогда только тогда, когда А поистине, а В неверно.

В импликации А В выражение А именуют основанием, либо посылкой, а выражение В – следствием, либо заключением.

13. Таблицы истинности выражений.

Таблица истинности - это таблица, устанавливающая соответствие меж всеми вероятными наборами Установление истинности сложных высказываний. логических переменных, входящих в логическую функцию и значениями функции.

Таблицы истинности используются для:

- вычисления истинности сложных выражений;

- установления эквивалентности выражений;

- определения тавтологий.

Установление истинности сложных выражений.

Пример 1. Установить истинность выражения · С

Решение. В состав сложного выражения входят 3 обычных выражения: А, В, С. В таблице заполняются колонки значениями Установление истинности сложных высказываний. (0, 1). Указываются все вероятные ситуации. Обыкновенные выражения от сложных отделяются двойной вертикальной чертой.
При составлении таблицы нужно смотреть за тем, чтоб не спутать порядок действий; заполняя столбцы, следует двигаться “изнутри наружу”, т.е. от простых формул к более и поболее сложным; столбец, заполняемый последним, содержит значения начальной формулы.

А В Установление истинности сложных высказываний. С А+ · С

Из таблицы видно, что данное выражение поистине исключительно в случае, когда А=0, В=1, С=1. Во всех других случаях оно неверно.

14. Равносильные формулы.

Две формулы А и В именуются равносильными, если они принимают схожие логические значения при любом наборе значений входящих в формулу простых выражений.

Равносильность обозначается знаком Установление истинности сложных высказываний. « ». Для преобразования формул в равносильные важную роль играют главные равносильности, выражающие одни логические операции через другие, равносильности, выражающие главные законы алгебры логики.

Для всех формул А, В, С справедливы равносильности.

I. Главные равносильности

закон идемпотентности

1-истина

0-ложь

закон противоречия

закон исключенного третьего

закон поглощения

формулы расщепления

закон склеивания

II. Равносильности, выражающие одни логические операции через другие.

закон де Моргана

III Установление истинности сложных высказываний.. Равносильности, выражающие главные законы алгебры логики.

коммутативный закон

ассоциативный закон

дистрибутивный закон

15. Формулы логики выражений.

Виды формул традиционной логики выражений – в логике выражений различают последующие виды формул:

1. Законы (тождественно-истинные формулы) – формулы, которые при всех интерпретациях пропозициональных переменных принимают значение «истинно»;

2. Противоречия (тождественно-ложные формулы) – формулы, которые при всех интерпретациях пропозициональных переменных принимают Установление истинности сложных высказываний. значение «ложно»;

3. Выполнимые формулы – такие, которые принимают значение «истинно» хотя бы при одном наборе значений истинности входящих в их состав пропозициональных переменных.

Главные законы традиционной логики выражений:

1. Закон тождества: ;

2. Закон противоречия: ;

3. Закон исключенного третьего: ;

4. Законы коммутативности и : , ;

5. Законы дистрибутивности относительно ,и напротив: , ;

6. Закон удаления настоящего члена конъюнкции: ;

7. Закон удаления Установление истинности сложных высказываний. неверного члена дизъюнкции: ;

8. Закон контрапозиции: ;

9. Законы взаимовыразимости пропозициональных связок: , , , , , .

Процедура разрешимости – способ, позволяющий для каждой формулы установить является она законом, противоречием либо выполнимой формулой. Самой всераспространенной процедурой разрешимости является способ истинностных таблиц. Но он не единственный. Действенным способом разрешимости является способ обычных форм для формул логики выражений. Обычной формой формулы логики Установление истинности сложных высказываний. выражений является форма, не содержащая знака импликации « ». Различают конъюнктивную и дизъюнктивную обычные формы. Конъюнктивная форма содержит только знаки конъюнкции « ». Если в формуле, приведенной к конъюнктивной обычной форме, встречается подформула вида , то вся формула в данном случае является противоречием. Дизъюнктивная форма содержит только знаки дизъюнкции « ». Если в формуле, приведенной Установление истинности сложных высказываний. к дизъюнктивной обычной форме, встречается подформула вида , то вся формула в данном случае является законом. Во всех других случаях формула является выполнимой формулой.

16. Предикаты и операции над ними. Кванторы.

Предложение, содержащее одну либо несколько переменных и которое при определенных значениях переменных является выражением, именуется высказывательной формой либо предикатом.

Зависимо от Установление истинности сложных высказываний. числа переменных, входящих в предложение, различают одноместные, двухместные, трехместные и т.д. предикаты, обозначаемые соответственно: А(х), В(х, у), С(х, у, z).

Если задан некий предикат, то с ним связаны два огромного количества:

1. Огромное количество (область) определения Х, состоящее из всех значений переменных, при подстановке которых в Установление истинности сложных высказываний. предикат последний обращается в выражение. При задании предиката обычно указывают его область определения.

2. Огромное количество истинности Т, состоящее из всех тех значений переменных, при подстановке которых в предикат выходит настоящее выражение.

Огромное количество истинности предиката всегда является подмножеством его области определения, другими словами .

Над предикатами можно совершать те же операции, что и Установление истинности сложных высказываний. над высказываниями.

1. Отрицаниемпредиката А(х), данного на огромном количестве Х, именуется предикат , настоящий при тех значениях , при которых предикат А(х) обращается в неверное выражение, и напротив.

Из данного определения следует, что предикаты А(х) и В(х) не являются отрицаниями друг дружку, если найдется хотя Установление истинности сложных высказываний. бы одно значение , при котором предикаты А(х) и В(х) обращаются в выражения с схожими значениями истинности.

Огромное количество истинности предиката является дополнением к огромному количеству истинности предиката А(х). Обозначим через ТА огромное количество истинности предиката А(х), а через Т - огромное количество истинности предиката . Тогда .

2. Конъюнкциейпредикатов А Установление истинности сложных высказываний.(х) и В(х), данных на огромном количестве Х, именуется предикат А(х) В(х), обращающийся в настоящее выражение при тех и только тех значениях х Х, при которых оба предиката обращаются в настоящие выражения.

Огромное количество истинности конъюнкции предикатов есть скрещение множеств истинности предиката А(х) В(х). Если обозначить Установление истинности сложных высказываний. огромное количество истинности предиката А(х) через ТА , а огромное количество истинности предиката В(х) через ТВ и огромное количество истинности предиката А(х) В(х) через , то

3. Дизъюнкцией предикатов А(х) и В(х), данных на огромном количестве Х, именуется предикат А(х) В(х), обращающийся Установление истинности сложных высказываний. в настоящее выражение при тех и только тех значениях х Х, при которых хотя бы один из предикатов обратился в настоящее выражение.

Огромное количество истинности дизъюнкции предикатов есть объединение множеств истинности образующих ее предикатов, т.е. .

4.Импликациейпредикатов А(х) и В(х), данных на огромном количестве Х, именуется предикат А(х Установление истинности сложных высказываний.) В(х), который ложен при тех и только тех значениях переменной, при которых 1-ый предикат обращается в настоящее выражение, а 2-ой – в неверное.

Огромное количество истинности импликации предикатов есть объединение огромного количества истинности предиката В(х) с дополнением к огромному количеству истинности предиката А(х), т.е.

5. Эквиваленциейпредикатов А(х Установление истинности сложных высказываний.) и В(х), данных на огромном количестве Х, именуется предикат , который обращается в настоящее выражение при всех тех и только тех значениях переменной, при которых оба предиката обращаются или в настоящие выражения, или в неверные выражения.

Огромное количество истинности эквиваленции предикатов есть скрещение огромного количества истинности предиката с обилием Установление истинности сложных высказываний. истинности предиката .

Кванторные операции над предикатами

Предикат можно перевести в выражение методом подстановки и методом «навешивание квантора».

Про числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 можно сказать: а) все данные числа обыкновенные; б) некие из данных чисел четные.

Потому что относительно этих предложений можно сказать, что они истинны либо неверны, то приобретенные предложения – выражения.

Если из Установление истинности сложных высказываний. предложения «а» убрать слово «все», а из предложения «б» - слово «некоторые», то получим последующие предикаты: «данные числа простые», «данные числа нечетные».

Слова «все» и «некоторые» именуются кванторами. Слово «квантор» латинского происхождения и значит «сколько», т. е. квантор указывает, о скольких (всех либо неких) объектах говорится в том либо Установление истинности сложных высказываний. ином предложении.

Различают два главных вида кванторов: квантор общности и квантор существования.

Определения «всякий», «любой», «каждый» носят заглавие – квантор всеобщности. Обозначается .

Пусть А(х) – определенный предикат, данный на огромном количестве Х. Под выражением А(х) будем осознавать выражение настоящее, когда А(х) поистине для каждого элемента из огромного количества Х Установление истинности сложных высказываний., и неверное в неприятном случае.

Истинность выражений с квантором общности устанавливается методом подтверждения. Чтоб убедиться в ложности таких выражений (опровергнуть их), довольно привести контрпример.

17. Определение бинарного дела меж огромными количествами А и В.

Бинарным отношением меж огромными количествами A и B именуется подмножество R прямого произведения . В этом случае Установление истинности сложных высказываний., когда можно просто гласить об отношении R на A.

Пример 1. Выпишите упорядоченные пары, принадлежащие бинарным отношениям R1 и R2, данными на огромных количествах A и : , . Подмножество R1 состоит из пар: . Подмножество .

Область определения R на есть огромное количество всех частей из A таких, что для неких частей имеем . Другими словами область Установление истинности сложных высказываний. определения R есть огромное количество всех первых координат упорядоченных пар из R.

Огромное количество значений дела R на есть огромное количество всех таких, что для неких . Другими словами огромное количество значений R есть огромное количество всех вторых координат упорядоченных пар из R.

В примере 1 для R1 область определения Установление истинности сложных высказываний.: , огромное количество значений - . Для R2 область определения: , огромное количество значений: .

В почти всех случаях комфортно использовать графическое изображение бинарного дела. Оно осуществляется 2-мя методами: при помощи точек на плоскости и при помощи стрелок.

В первом случае выбирают две взаимно перпендикулярные полосы в качестве горизонтальной и вертикальной осей. На Установление истинности сложных высказываний. горизонтальной оси откладывают элементы огромного количества A и через каждую точку проводят вертикальную линию. На вертикальной оси откладывают элементы огромного количества B, через каждую точку проводят горизонтальную линию. Точки скрещения горизонтальных и вертикальных линий изображают элементы прямого произведения

18. Методы задания бинарных отношений.

Всякое подмножество декартова произведения A×B именуется бинарным отношением Установление истинности сложных высказываний., определенным на паре множеств A и B (по латыни «бис» обозначает «дважды»). В общем случае по аналогии с бинарными можно рассматривать и n-арные дела как упорядоченные последовательностиn частей, взятых по одному из n множеств.

Для обозначения бинарного дела используют символ R. Так как R— это подмножество огромного количества A Установление истинности сложных высказываний.×B, то можно записать R⊆A×. Если же требуется указать, что (a, b) ∈ R, т. е. меж элементами a ∈ A и b ∈ B существует отношение R, то пишут aRb.

Методы задания бинарных отношений:

1. Это внедрение правила, согласно которому указываются все элементы, входящие в данное отношение. Заместо Установление истинности сложных высказываний. правила можно привести перечень частей данного дела методом конкретного их перечисления;

2. Табличный, в виде графов и при помощи сечений. Базу табличного метода составляет прямоугольная система координат, где по одной оси откладываются элементы 1-го огромного количества, по 2-ой — другого. Скрещения координат образуют точки, обозначающие элементы декартова произведения.

На (рисунке 1.16) изображена координатная сетка Установление истинности сложных высказываний. для множеств. Точкам скрещения 3-х вертикальных линий с шестью горизонтальными соответствуют элементы огромного количества A×B. Кружочками на сетке отмечены элементы дела aRb, где a ∈ A и b ∈ B, R обозначает отношение «делит».

Бинарные дела задаются двухмерными системами координат. Разумеется, что все элементы декартова произведения 3-х множеств аналогично могут быть Установление истинности сложных высказываний. представлены в трехмерной системе координат, 4 множеств— в четырехмерной системе и т. д;

3. Метод задания отношений при помощи сечений употребляется пореже, потому рассматривать его не будем.

19. Рефлексивность бинарного дела. Пример.

В арифметике бинарное отношение на огромном количестве именуется рефлексивным, если всякий элемент этого огромного количества находится в отношении с Установление истинности сложных высказываний. самим собой.

Свойство рефлексивности при данных отношениях матрицей характеризуется тем, что все диагональные элементы матрицы приравниваются 1; при данных отношениях графом каждый элемент имеет петлю — дугу (х, х).

Если это условие не выполнено ни для какого элемента огромного количества , то отношение именуется антирефлексивным.

Если антирефлексивное отношение задано матрицей, то Установление истинности сложных высказываний. все диагональные элементы являются нулевыми. При задании такового дела графом любая верхушка не имеет петли — нет дуг вида (х, х).

Формально антирефлексивность дела определяется как: .

Если условие рефлексивности выполнено не для всех частей огромного количества , молвят, что отношение нерефлексивно.


ustrojstva-dlya-polucheniya-peredachi-i-registracii-mediko-biologicheskoj-informacii.html
ustrojstva-dlya-spuskopodemnih-operacij.html
ustrojstva-elektrotehniki.html